Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales con dos incognitas Aquí

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Por ejemplo:

$$\{\begin{array}{c}3x+2y=1\\ x-5y=6\end{array}$$

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y).

Resolver un sistema de ecuacionesconsiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

La solución al sistema del ejemplo es

$$\begin{array}{c}x=1\\ y=-1\end{array}$$

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado. No hablaremos de los otros tipos ya que en esta sección sólo se estudian los sistemas determinados.

Para resolver un sistema (compatible determinado) necesitamos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.

En esta sección resolvemos sistemas (lineales) de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado.

• sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, x) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, obtenemos el valor de xsustituyendo el valor de y que ya conocemos.
• reducción: consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
• igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar las expresiones, obteniendo así una sola ecuación con una incógnita.

No olvidemos que si multiplicamos una ecuación por un número distinto de 0, la ecuación inicial y la obtenida son equivalentes. Esto quiere decir que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones y, por tanto, podemos trabajar con una u otra. Usaremos esta propiedad con frecuencia en el método de reducción.

4 Sistemas de Ecuaciones resueltos

Por sustitución, igualación y reducción.

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Sistema 1

Ver Solución

SOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN

Despejamos en la primera ecuación la x:

Y la sustituimos en la segunda:

Calculamos x sabiendo y:

Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR IGUALACIÓN

Despejamos en ambas ecuaciones la y

Como y = y, igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación:

Ahora, sustituimos el valor de la incógnita x = 1 en la primera de las ecuaciones anteriores para obtener y:

Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN

Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Para ello, multiplicamos por -2 la primera ecuación.
Después, sumamos las ecuaciones y resolvemos la ecuación obtenida:

Finalmente, sustituimos el valor de y = 2 en la primera ecuación y la resolvemos:

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es

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Sistema 2

Ver Solución

SOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN

Despejamos en la segunda ecuación la y:

Sustituimos la expresión obtenida en la primera ecuación y la resolvemos:

Como ya conocemos x, calulamos y sustituyendo en alguna de las ecuaciones anteriores:

Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR IGUALACIÓN

Despejamos en ambas ecuaciones la y

Igualamos las expresiones y resolvemos la ecuación:

Sustituyendo x en la primera de las ecuaciones anteriores obtenemos y:

Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 5 para conseguir que el coeficiente de la incógnita x tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones:

Cambiamos el signo a la segunda ecuación (la multiplicamos por -1) y sumamos las ecuaciones:

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación y la resolvemos:

Por tanto, la solución del sistema es

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Sistema 3

Ver Solución

SOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN

Despejamos en la primera ecuación la y:

Sustituimos su expresión en la segunda ecuación y la resolvemos:

Calculamos y sabiendo x:

Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR IGUALACIÓN

Despejamos en ambas ecuaciones la y

Igualamos las expresiones obtenidas y resolvemos la ecuación:

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones anteriores obtenemos:

Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN

Multiplicamos la primera ecuación por 1/5 y la segunda por 1/7:

De este modo evitamos coeficientes altos que complican las operaciones. Ahora multiplicamos la primera ecuación por 3, la segunda por 2 y las sumamos:

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación y la resolvemos:

Por tanto, la solución del sistema es

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Sistema 4

Ver Solució

SOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN

Despejamos de la primera ecuación la x. Pero, primero, multiplicamos la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores y, de este modo, evitamos las fracciones.

Sustituimos en la segunda ecuación la x y la resolvemos. Primero multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores:

Calculamos y sabiendo x:

Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR IGUALACIÓN

Multiplicamos cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores obteniendo las ecuaciones:

Despejamos en las dos ecuaciones la x:

Igualamos ambas expresiones y resolvemos la ecuación:

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones anteriores:

Por tanto, la solución del sistema es

SOLUCIÓN POR REDUCCIÓN

Multiplicamos cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores obteniendo las ecuaciones:

Multiplicamos la segunda por -1 y sumamos las ecuaciones:

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación y la resolvemos:

Por tanto, la solución del sistema es