Tema y Ejercicios de ecuación general de la recta

Si se conoce la pendiente m , y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es ( 0, b ) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma

y − y 1 = m(x − x 1 )

y – b  = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación ) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7) .

Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.


Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto,  la b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y ).

Ejemplo:
1)ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE LA RECTA DADOS DOS PUNTOS DE LA MISMA 
Se desarrolla un ejemplo en que pide determinar la ecuación de la recta conociendo las coordenadas de dos puntos de la misma. En el ejemplo también se muestra cómo verificar si un punto está o no sobre la recta de manera analítica. 

Ejercicio para después del video 
1 a) Consiga la ecuación de la recta con pendiente 5 y que corta el eje y en -5. 
b) Determine si el punto (-2,3) está o no sobre la recta con un procedimiento analítico. 

2 a) Consiga la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3,5) y (5,1) ; 
b) Compruebe si el punto (6,-1) está o no sobre la recta con un procedimiento analítico.

Respuestas 
1a)   y=5x−5; 1b)   No está 

2a)   y=−2x+11; 2b)   Si está. 

2)LAS ECUACIONES DE RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES 
Se encuentra la ecuación de una recta horizontal usando la forma punto pendiente. Se analiza la ecuación encontrada, interpretando la ecuación como una condición que cumple todos los puntos y sólo los puntos de la recta. A partir de este análisis se establece la condición de una recta vertical y de allí su ecuación. 

Ejercicios para después del video 
Encuentre la ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas para cada caso. 
1) Es paralela al eje y y pasa por el punto (6,1); 
2) Es horizontal y pasa por el punto (3,-4); 
3) Pasa por el punto (4,-5) y es vertical. 

Respuestas

1) x=6; 2) y=−4; 3) x=4

3)Grafique las siguientes ecuaciones 

a)  y+3x=4;    b)  2y=5x−5; 
c)   y−4=0;     d)   4x−5y=20 

Respuestas

 3)Ejemplo 1:

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10 .

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .

Usamos la información que tenemos:

m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10 .

La ecuación que se pide es y = 3x + 10 .

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0 , la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0 , que luego ordenamos, para quedar

3x – y  +  10 = 0

4)Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5 .

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .

Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación:

y = – 5x + b

Ahora tenemos que buscar la b ; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2) , por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b

Despejamos la variable b en:

2 = – 5 (1) + b

2 = – 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7

La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7 .

La cual también podemos expresar en su forma general:

y = – 5x + 7

y + 5x – 7 = 0

la cual ordenamos y queda

5x + y – 7 = 0



Pendiente de una Recta

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.

Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.

Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 1/5.

Además:

Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0 , la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.

Determinar la pendiente

Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

5)Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto ( 1, 3 ), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:

3 = 2 · 1 + n,

y despejando n , queda n = 1 .

Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:

y = 2x + 1 .


Si nos dicen que la recta pasa por el punto ( 1, 3 ) y ( 2, 5 ), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:

3 = m · 1 + n,

5 = m · 2 + n.

Ahora, observemos el gráfico de arriba: Cuando se tienen dos puntos de una recta P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ) , la pendiente, que es siempre constante , queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Recta_ecuacion_de_008

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:

y – y 1 = m(x – x 1 )

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.

Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P 1 = (x 1 ,  y 1 ) y tiene la pendiente dada m, se establece de la siguiente manera:


y – y 1 = m(x – x 1 )

6)Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3)

y – y 1 = m(x – x 1 )

y – (–3) = –4(x – 5)

y + 3 = –4x + 20

y = –4x + 20 –3

y = –4x +17

Luego la ecuación pedida es 4x + y – 17 = 0 .

Ejercicios propuestos

Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente

Recuerde que la fórmula inicial es y – y 1 = m(x – x 1 )

1. m = –1;  punto (–2, 3)

y – 3 =  –1(x + 2) 
y – 3 =  –x – 2 
x + y – 1 = 0

2. m = 2; punto (–3/2, –1)

y + 1 = 2(x + 3/2) 
y + 1 = 2x + 3 
– 2x + y – 2 = 0 
2x – y + 2 = 0

3. m = 0; punto (–3, 0)

y – 0 = 0(x + 3) 
y = 0

4. m= –4; punto (2/3, –2)

y + 2 = –4(x – 2/3) 
y + 2 = –4x + 8/3 
y +2 – 4x –8/3 = 0 
y – 2/3 – 4x = 0 
4x – y + 2/3 = 0

5. m = –2/5; punto (1,4)

y – 4 = 1(x – 1) 
y – 4 = x – 1 
y – 4 – x + 1 = 0 
y – 3 – x = 0 
x – y + 3 = 0

6.  m = 3/4; punto (2,5, –3)

y + 3 = ¾(x – 2,5) 
y + 3 = 3/4x – 15/8 
y + 3 – 3/4x +15/8 = 0 
y + 39/8 – 3/4x = 0 
3/4x – y – 39/8 = 0

7. m = ind; punto (0,5)

y – 5 = (x – 5) 
y – 5 – x + 5 = 0 
y – x = 0 
x – y = 0

8. m = 0; punto (–4, 1/2)

y – ½ = (x + 4) 
y – ½ – x – 4 = 0 
y – 9/2 – x = 0 

x – y + 9/2 = 0