Inecuaciones

¿Que son las inecuaciones?

Una inecuación es una desigualdad que relaciona letras y números mediante las operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta.

Ejemplo:

 

Diferencias entre ecuación e inecuación

Las ecuaciones son expresiones algebraicas que incluyen una igualdad (=). Como seguro que recordáis, las expresiones algebraicas son aquellas que se componen de datos (números) e incógnitas (que puede ser x, ó y, ó…).

Las ecuaciones incluyen la igualdad mencionada antes porque es una herramienta que sirve para comparar. Realmente cuando resolvemos una ecuación estamos haciendo (sin ser conscientes muchas veces) la pregunta “¿Qué punto ó puntos tienen en común la expresión que está a la izquierda de la igualdad con la expresión que está a la derecha de la igualdad?”

Hay múltiples tipos de ecuaciones: de primer grado, de segundo grado, de grado n, logarítmicas, trigonométricas, exponenciales, sistemas de ecuaciones…

Por otra parte tenemos las inecuaciones, que las podemos definir como una expresión algebraica que incluye una desigualdad. Recordemos que las desigualdades son:

• ≥ : Mayor o igual

• > : Mayor estrictamente

• ≤ : Menor o igual

• < : Menor estrictamente

Pues bien, la diferencia más esencial entre ecuaciones e inecuaciones, es que mientras que las ecuaciones calculan puntos como hemos dicho antes, las inecuaciones calculan semiplanos (o lo que es lo mismo, trozos de plano).

Por ejemplo, recordando que estamos hablando de inecuaciones en un plano, si tenemos como resultado x. Si nos fijamos, todos esos puntos juntos formarían el semiplano izquierdo, es decir, el trozo de plano completo que queda a la izquierda del eje y.

Ejemplo:

Gráfica de inecuación X+7 > 0

Si el grado de la inecuación es uno (de primer grado), se dice que la inecuación es lineal.

Inecuaciones cuadráticas

Las Inecuaciones Cuadráticas son aquellas que tienen la variable elevada al cuadrado y su solución se puede encontrar de dos formas: estudiando los signos de los factores encontrados luego de la factorización o estudiando la función cuadrática.

Si encuentras la solución por los factores debes considerar todos los posibles signos que cumplan con la desigualdad y si es por la función una vez graficada se observa donde la función cumple con la desigualdad.

Ejemplo:   ${ x }^{ 2 }-6x+8\quad >\quad 0$

Hallamos las raices aplicando la fórmula:

$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac }  }{ 2a }$ 

Lo cual nos da como resultado:
$x=\frac { -(-6)\pm \sqrt { { (-6) }^{ 2 }-4(1)(8) }  }{ 2(1) } $

$x=\frac { 6\pm \sqrt { 4 }  }{ 2 } $

$x=\frac { 6\pm 2 }{ 2 } \Longrightarrow { x }_{ 1 }=\frac { 8 }{ 2 } =4\quad Y\quad { x }_{ 2 }=\frac { 4 }{ 2 } =2$

Cuya solución se resume en resolver la inecución: $(x-4)(x-2) > 0$

La cual será $(-\infty ;2)\quad \cup  \quad (4;\infty )$

Ejemplo 3: Sea la inecuación ${ x }^{ 2 }-{ 5x }+6 >0$ represente graficamente su solución

Paso 1: hallamos las raices del polinomio ${ x }^{ 2 }-{ 5x }+6$ ; utilizando la ecuación respectiva

$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4.a.c }  }{ 2.a }$

$x=\frac { -(-5)\pm \sqrt { { (-5) }^{ 2 }-4.(1).(6) }  }{ 2.(1) }$

$x=\frac { 5\pm \sqrt { { 25 }-24 }  }{ 2 } =\frac { 5\pm 1 }{ 2 }$ ; lo cual da como resultado:

${ x }_{ 1 }=3\quad { x }_{ 2 }=2$

Por lo tanto la inecuación nos queda como sigue:

$(x-3)(x-2)>0$

Paso 2: Para que la inecuació resultante se cumpla, puede ser solo de dos formas.

a- $(x-3)>0$ y $(x-2)>0$  Simultáneamente ó sea sean positivos

La solución gráfica de esta inecuación es:

Como se puede apreciar en la imagen la solución de esta condición se encuentra en el intervalo $\left( 3;\infty  \right) $ 
b- Caso contrario que ambos sean menores que cero al mismo tiempo, la grafica de esta condición será:

En la grafica se puede apreciar que la solución para esta condición es el intervalo $\left( -\infty ;2 \right) $;por lo tanto para hallar la solución total de esta inecuación debemos interceptar ambas soluciones y al hacerlo obtendremos la siguiente solución.

Donde claramente se observa que la solución total será el intervalo : $\left( -\infty ;2 \right) \cup (3;\infty )$

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