¿Que es una función?

El concepto de función tiene su origen en el término latino functĭo. La palabra puede ser utilizada en diversos ámbitos y con distintos significados.

Por ejemplo, una función es la representación de una obra artística. La función teatral es la representación que se realiza en vivo en un teatro, mientras que también se denomina función a la exhibición de una película en las salas de cine.

Por otra parte, una función matemática es la correspondencia o relación f de los elementos de un conjunto A con los elementos de un conjunto B. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de A están relacionados con los elementos de B) y con la condición de unicidad (cada elemento de A está relacionado con un único elemento de B.

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Una función es una ley que asigna a cada elemento de un conjunto un único elemento de otro. Con esto una función hace que estos dos elementos estén relacionados. En el caso de ambos conjuntos sean los números reales se llamará función real de variable real. Habitualmente lo expresamos

y = f(x)

Se lee: “y es igual a f de x” ó “y es función de x”, asimismo la “x” se llama variable independiente y la “y” variable dependiente. Esto es así porque a la x podremos darle el valor que queramos, pero la y dependerá de este valor que le demos a esta x. Es por eso que en una función a cada valor de de x le corresponde un único valor de y. Y solamente uno, es decir, en toda función solo existen un par de valores.

Una función puede considerarse como una correspondencia de un conjunto $X$, de números reales $x$ a un conjunto $Y$ de números reales donde $y$ donde,el número es único para cada valor específico de $x$.

Ejemplo 1:Con notación de intervalos, el dominio y rango de la función $y={ x }^{ 2 }$.

Dominio: $(-\infty ;\infty )$
Rango: $[0;\infty )$

Ejemplo 2: Sea $f$ la función definida por la ecuación
$y=\sqrt { x-2 } $

Como los números se han restringido a los números reales, $y$ es una función de $x$ sólo sí $x-2\quad \ge \quad 0$ debido a que para cualquier $x$ que satisfaga esta desigualdad, se determina un solo valor de $y$. Sin embargo,si $x < 2$, se tiene la raíz cuadrada de un número negativo, y en consecuencia no se obtendrá un número real.Por tanto,se debe restringir $x$ de manera que $x\quad \ge \quad 2$, de este modo el dominio de $x$ es el intervalo $[2;+\infty )$, y su contradominio (o rango) es el intervalo $[0;+\infty )$.

FUNCIONES Y FORMAS DE SU EXPRESIÓN

Sean dados los conjuntos A={x} y B={y}. El conjunto formado por dos elementos {x,y}, x  ε A, y ε B, se llama par de los elementos x e y.

El par de la forma {x,{x,y}, donde x ε A, y ε B y {x,y} es un par de  elementos x e y se denomina par. o/ordenado de los elementos x e y, que reciben, respectivamente, el nombre de primer y segundo elemento del par ordenado. El par ordenado {x,{x,y}} se denota por (x,y), de modo que:

(x,y) = {x,{x,y}}

El conjunto de todos los pares ordenados (x,y), x ε A, y ε B se llama producto cartesiano de los conjuntos A y B, y se denota simbólicamente por:

AxB = {(x,y)/x ε A, y ε B}

Cuando A=B, el símbolo A² designa el producto AXA.

DEFINICION 1.2:

Dados dos conjuntos A y B, se denomina función de A en B, a cualquier conjunto f ϵ AxB que asocia un elemento x que pertenece a A (conjunto de partida), con uno y sólo un elemento y, que pertenece al conjunto B (conjunto de llegada). Esto es, un conjunto f es una función de A en B, q' se denota f:A$\rightarrow$B, si :

i) fe AxB

ii) (x,y)ε f y (x,z)ε f  $ \rightarrow $y=z

Figura 1.1

El conjunto de todos los primeros elementos de los pares ordenados (x,y) de la función f se llama dominio o conjunto de definición de esta función y se denota por Df o Dom(f).
El conjunto de todos los segundos elementos de los pares ordenados (x,y) de f se llama rango, recorrido o conjunto de. imágenes de esta función y se denota por: Rf o Ran(f).
En la Fig. 1.1 vemos que Dom(f)=D y Ran(f)=B. Si D=A, es decir,
cuando Dom(f)=A, se dice que f:A-»-B es una función totalmente definida o aplicación de A en B.
El conjunto de pares ordenados f={(x,y)} analizado como subconjunto de AxB, se llama gráfica de la función. El elemento x ε A se llama argumento de la función o variable independiente, el elemento y B, variable dependiente.
Si f:AXB es una función, es decir, un conjunto de pares ordenados
f={(x,y)/xεA, yεB}, que satisface las condiciones de la definición 1.2, y (x.y)f, entonces se escribe y=f(x), y se dice que y es imagen de x por f, es decir, f pone en correspondencia al elemento x el elemento y, o bien, el elemento y corresponde al elemento x por f.

FORMAS DE EXPRESAR UNA FUNCIÓN
a) Por medio de Tablas. Una tabla es un cuadro a base de líneas
paralelas y perpendiculares donde se anotan, en la parte superior, los valores del argumento, x1,x2
x 3, ... ,\x , y en la parte inferior, se escriben los valores correspondientes de la función: y1,y2 ,y3, ... ,yn.

X	Y
x1	y1
x2	y2
x3	y3
.	.
.	.
xn	yn